数据结构与算法之美 复杂度分析(上)

文章是观看王争老师的数据结构与算法之美所写

数据结构和算法本身是为了解决快和省的问题，我们希望代码运行快，并且希望节省存储空间，所以执行效率是一个很重要的考量指标，接下来要讲的是时间复杂度和空间复杂度

我们可以通过把代码跑一遍，然后通过统计，监控等得到算法执行事件和占用的内存空间大小，这种方法是事后统计法，有很大的局限性:

• 测试结果很依赖测试环境

- 同样的代码在不同的机器执行速度可能不一样

• 测试结果受数据规模的影响很大

- 比如排序

所以，我们需要用一个不需要具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执行效率的方法，也就是时间，空间复杂度分析方法。

int cal(int n) { 
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) { 
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }

假设每行代码执行的时间都是一样，为unit_time时间，那么总的执行时间就是(2n+2)unit_time,所有代码的执行时间T(n)和每行代码的执行次数f(n)成正比。

我们可以把这个规律总结成一个公式。注意，大 O 就要登场了！

• T(n)表示代码的执行时间，n表示数据规模大小
• f(n)表示每行代码执行的次数总和
• O表示代码的执行时间T(n)和f(n)成正比
• 上面所说的例子T(n)=O(2n+2),这就是大O时间复杂度表示法
• 大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。

1. 只关注循环执行次数最多的一段代码
2. 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

• 只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。

时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。